Se non è chiaro quale è la tua configurazione è difficile capire cosa ti serve. Incluso se sei "nattato" o meno.
In ogni caso, concettualmente "cambiare il gateway al Fritz!box" non è una definizione proprio corretta.
E' un modem, ovvero effettua la connessione verso i sistemi dello ISP, ed è un router, quindi "ruota" (brutto ma si usa dire così tra i "routeristi" se lo dici in italiano) il traffico tra una subnet ed un altra
diversa (o tra molte subnet, sto semplificando), in questo caso tra l'indirizzo (singolo) assegnato dal tuo ISP al tuo modem dopo la connessione e la rete interna, a cui poi tu colleghi uno o più dispositivi.
Potenzialmente, se ti servisse collegare ad internet un solo dispositivo (tipo un solo PC) basterebbe un modem.
A casa ho ancora il primo modem (appunto) fornitomi da Telecom ai tempi delle prime ADSL, che permetteva la connessione solo al PC (ma a quei tempi non c'era nient'altro

)
La subnet interna di default sui FB è la 192.168.178.0/24, quindi con netmask 255.255.255.0, con 192.168.178.1 come indirizzo del FB e che quindi è gateway della subnet indicata, ed indirizzi (potenzialmente) utilizzabili da 192.168.178.2 a 192.168.178.254.
Poi il DHCP interno rilascia indirizzi sono in una fetta di questo range di indirizzi.
Se, per esempio, hai bisogno che i tuoi dispositivi puntino come gateway a 192.168.0.1, devi cambiare i parametri dell'intera subnet, modificandoli di conseguenza.
Nelle reti su cui ho lavorato ho visto configurazioni orribili, in cui la subnet era tipo 192.168.100.0/24, ed il gateway era 192.168.1.1.
Funziona (male) solo se il "router" ha configurato sulla stessa porta più subnet e quindi più gateway.
Meglio evitare...