Ho scoperto il motivo perché non funziona e come ovviare per farlo funzionare!
Praticamente modificando la configurazione di rete dello smartphone, mettendo IP fisso e DNS riesco a farlo funzionare. Secondo me non va perché con la configurazione automatica si prende come DNS 192.168.178.248. Inserendo i DNS di Google o OpenDNS ritorna a funzionare.

Adesso l'interrogativo è come mai il Fritz passi il 192.168.178.248 come DNS e non il proprio indirizzo 192.168.178.1?
In realtà sul Fritz non tanto tempo fa avevo modificato i DNS impostando appunto Cloudflare e Google, in "Internet/Dati di accesso/Server DNS", ma il DHCP del Fritz comunicava al dispositivo che si collegava il 192.168.178.248 che io non ho impostato.

Controllando in "Rete domestica/Rete/Impostazioni di rete/Indirizzi IPv4" sotto il DHCP c'è appunto una voce che dice:
"Se volete usare un altro server DNS nella rete domestica digitate qui il suo indirizzo IP affinché il FRITZ!Box lo renda noto ai dispositivi della rete domestica." e come "Server DNS locale" era impostato appunto 192.168.178.248. Mettendolo a 192.168.178.1 il tutto è ritornato alla normalità!

Ma la domanda che mi sorge ora è come abbia fatto a finirci tale indirizzo 192.168.178.248. Io non l'ho inserito di certo. Forse però in qualche manovra con le varie impostazioni che avevo provato c'era finito dentro tale indirizzo ... boh, mistero!
Quanto alle tue domande la risposta è un po' complessa; una casa che in origine era ad un appartamento ora è diventata a 2 appartamenti, quindi la fibra originale ed il piano terra devono rimanere così come sono ed il primo piano ha il Fritz e la sua rete distinta. Ti quadra ora?